Autoregressive moving average model definition

Um modelo de análise estatística que usa dados de séries temporais para prever tendências futuras É uma forma de análise de regressão que procura prever movimentos futuros ao longo da caminhada aparentemente aleatória tomada por estoques E o mercado financeiro examinando as diferenças entre os valores da série em vez de usar os valores de dados reais Lags das séries diferenciadas são referidos como auto-regressivos e os atrasos dentro dos dados previstos são referidos como média móvel. BREAKING DOWN Média Movente Autorestrada - ARIMA . Este tipo de modelo é geralmente referido como ARIMA p, d, q, com os inteiros referindo-se a parte autorregressiva integrada e média móvel do conjunto de dados, respectivamente modelagem ARIMA pode levar em conta tendências, ciclos de sazonalidade, erros e não-estacionário Aspectos de um conjunto de dados ao fazer forecast. A RIMA significa Autoregressive Integrado Média Móvel Modelos Único vetor único ARIMA é uma técnica de previsão que projeta os valores futuros de uma série baseada inteiramente em sua própria inércia Sua aplicação principal é na área de previsão de curto prazo que requer pelo menos 40 pontos de dados históricos Funciona melhor quando seus dados exibem um estável Ou padrão consistente ao longo do tempo com uma quantidade mínima de outliers Às vezes chamado Box-Jenkins após os autores originais, ARIMA é geralmente superior a técnicas de suavização exponencial quando os dados são razoavelmente longos ea correlação entre observações passadas é estável Se os dados são curtos ou altamente Volátil, então algum método de suavização pode funcionar melhor Se você não tiver pelo menos 38 pontos de dados, você deve considerar algum outro método que ARIMA. O primeiro passo na aplicação da metodologia ARIMA é verificar se a estacionaridade é estacionária. Nível constante ao longo do tempo Se existe uma tendência, como na maioria das aplicações econômicas ou de negócios, então os dados não são stat Os dados também devem mostrar uma variação constante em suas flutuações ao longo do tempo. Isto é facilmente visto com uma série que é fortemente sazonal e cresce a um ritmo mais rápido. Nesse caso, os altos e baixos da sazonalidade se tornarão mais dramáticos ao longo do tempo. Estas condições de estacionaridade estão sendo cumpridas, muitos dos cálculos associados ao processo não podem ser computados. Se um gráfico dos dados indica nonstationarity, então você deve diferenciar a série Differencing é uma excelente maneira de transformar uma série não-estacionária para uma estacionária. Feito subtraindo a observação no período atual do anterior Se essa transformação é feita apenas uma vez para uma série, você diz que os dados foram primeiro diferenciados Este processo essencialmente elimina a tendência se a sua série está crescendo a uma taxa bastante constante Se Ele está crescendo a uma taxa crescente, você pode aplicar o mesmo procedimento e diferença os dados novamente Seus dados seriam então segundo differe Nced. As autocorrelações são valores numéricos que indicam como uma série de dados está relacionada a si mesma ao longo do tempo. Mais precisamente, mede quão fortemente os valores de dados em um número específico de períodos separados estão correlacionados entre si ao longo do tempo. Por exemplo, uma autocorrelação no retardo 1 mede como os valores 1 intervalo de tempo são correlacionados entre si ao longo da série. Uma autocorrelação no retardo 2 mede como os dados dois períodos separados estão correlacionados ao longo da série As autocorrelações podem variar de 1 a -1 Um valor próximo a 1 indica uma alta correlação positiva, enquanto um valor próximo a -1 implica uma alta correlação negativa. Estas medidas são mais frequentemente avaliadas através de gráficos gráficos chamados correlagramas. Um correlagrama traça os valores de autocorrelação para uma dada série em diferentes retardos. Função de autocorrelação e é muito importante no método ARIMA. A metodologia ARIMA tenta descrever os Estacionária séries temporais em função do que são chamados de parâmetros auto-regressivos e de média móvel Estes são referidos como parâmetros AR auto-menstruação e parâmetros MA média móvel Um modelo AR com apenas um parâmetro pode ser escrito como. out X t séries de tempo em investigação. A 1 O parâmetro autorregressivo de ordem 1.X t-1 a série de tempo retardada 1 período. E t o termo de erro do modelo. Isso significa simplesmente que qualquer dado valor X t pode ser explicado por alguma função de seu valor anterior, X t - 1, mais algum erro aleatório inexplicável, E t Se o valor estimado de A 1 era 30, então o valor atual da série seria relacionado a 30 de seu valor 1 período atrás Claro que a série poderia estar relacionada a mais do que apenas Um valor passado Por exemplo. X t A 1 X t-1 A 2 X t-2 E t. Isso indica que o valor atual da série é uma combinação dos dois valores imediatamente precedentes, X t-1 e X t - 2, mais algum erro aleatório E t Nosso modelo é agora um modelo autorregressivo de ordem 2.Moving Aver Um segundo tipo de modelo Box-Jenkins é chamado de modelo de média móvel Embora esses modelos pareçam muito semelhantes ao modelo AR, o conceito por trás deles é bastante diferente Os parâmetros de média móvel relacionam o que acontece no período t somente aos erros aleatórios que Em vez de X t-1, X t-2, Xt-3 como nas abordagens autorregressivas Um modelo de média móvel com um termo de MA pode ser escrito em períodos de tempo passados, ie E t-1, E t-2, Como segue. O termo B 1 é chamado MA de ordem 1 O sinal negativo em frente do parâmetro é usado para convenção só e é geralmente impresso automaticamente pela maioria dos programas de computador O modelo acima simplesmente diz que qualquer dado valor de X T está diretamente relacionada apenas ao erro aleatório no período anterior, E t-1 e ao termo de erro atual, E t Como no caso de modelos autorregressivos, os modelos de média móvel podem ser estendidos a estruturas de ordem superior cobrindo diferentes combinações E comprimento médio móvel. Metodologia ARIMA O permite a construção de modelos que incorporam tanto os parâmetros de média móvel como de auto-regressão. Estes modelos são frequentemente referidos como modelos mistos. Embora isto torne uma ferramenta de previsão mais complicada, a estrutura pode de facto simular melhor a série e produzir uma previsão mais precisa Modelos puros Implicam que a estrutura consiste apenas de AR ou MA parâmetros - não both. The modelos desenvolvidos por esta abordagem são geralmente chamados ARIMA modelos porque eles usam uma combinação de AR autorregressivo, integração I - referindo-se ao processo inverso de diferenciação para produzir a previsão, E a média móvel das operações de MA Um modelo ARIMA é geralmente indicado como ARIMA p, d, q Isso representa a ordem dos componentes autorregressivos p, o número de operadores de diferenciação d ea ordem mais alta do termo médio móvel Por exemplo, ARIMA 2, 1,1 significa que você tem um modelo autorregressivo de segunda ordem com um componente de média móvel de primeira ordem cuja série foi diferenciada onc E para induzir stationarity. Picking a especificação direita. O problema principal em Box-Jenkins clássico está tentando decidir-se que ARIMA especificação para usar - ie quantos parâmetros AR e ou MA para incluir Isto é o que muito de Box-Jenkings 1976 foi dedicado a O processo de identificação Depende da avaliação gráfica e numérica das funções de autocorrelação da amostra e de autocorrelação parcial Bem, para os seus modelos básicos, a tarefa não é muito difícil Cada um tem funções de autocorrelação que parecem uma certa maneira No entanto, quando você subir em complexidade , Os padrões não são tão facilmente detectados Para tornar as questões mais difíceis, seus dados representam apenas uma amostra do processo subjacente Isso significa que os erros de amostragem outliers, erro de medição, etc pode distorcer o processo de identificação teórica É por isso que a modelagem ARIMA tradicional é uma arte Em vez de uma ciência. Introdução aos modelos não-sazonais ARIMA. ARIMA p, d, q equação de previsão ARIMA modelos são, em teoria, o mais genera L classe de modelos para a previsão de uma série de tempo que pode ser feita para ser estacionária por diferenciação se necessário, talvez em conjunto com transformações não-lineares, como logging ou deflação, se necessário Uma variável aleatória que é uma série temporal é estacionário se suas propriedades estatísticas são todas Constante ao longo do tempo Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ele wiggles de forma consistente ou seja, seus padrões de tempo aleatório de curto prazo sempre olhar o mesmo em um sentido estatístico A última condição significa que suas autocorrelações As correlações com seus próprios desvios anteriores da média permanecem constantes ao longo do tempo ou, de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória dessa forma pode ser vista como usual como uma combinação de sinal e ruído eo sinal se for Aparente poderia ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou alternância rápida no signo, e poderia também ter um Componente sazonal Um modelo ARIMA pode ser visto como um filtro que tenta separar o sinal do ruído eo sinal é extrapolado para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é linear ou seja, tipo de regressão Equação em que os preditores consistem em defasagens da variável dependente e / ou defasagens dos erros de previsão Isso é. Valor estimado de Y uma constante e ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais Se os preditores consistem somente de valores defasados ​​de Y é um modelo auto-regressivo autoregressivo puro, que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que poderia ser equipado com software de regressão padrão. Por exemplo, uma primeira O modelo AR 1 auto-regressivo da ordem para Y é um modelo de regressão simples em que a variável independente é apenas Y retardada por um período LAG Y, 1 em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt Se alguns dos preditores são atrasos do Erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não há maneira de especificar o erro do último período s como uma variável independente os erros devem ser calculados numa base período-a-período quando o modelo é ajustado aos dados De Um ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros defasados ​​como preditores é que as previsões do modelo não são funções lineares dos coeficientes mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Assim, os coeficientes em modelos ARIMA que incluem erros retardados devem ser estimados por não - Otimização métodos hill-climbing em vez de apenas resolvendo um sistema de equações. A sigla ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average Lags da série estacionária na equação de previsão são chamados de termos autorregressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados média móvel termos , E uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser feito estacionário é dito ser uma versão integrada de uma série estacionária Random-pé e aleatória Modelos de tendência, modelos autorregressivos e modelos de suavização exponencial são casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não sazonal é classificado como um modelo ARIMA p, d, q, onde p é o número de termos autorregressivos. d é o número de As diferenças não sazonais necessárias para a estacionariedade, eq é o número de erros de previsão defasados ​​na equação de previsão. A equação de previsão é construída da seguinte forma: Primeiro, let y denota a d diferença de Y que significa. Note que a segunda diferença de Y a D 2 caso não é a diferença de 2 períodos atrás Antes, é a primeira diferença de primeira diferença que é o análogo discreto de uma segunda derivada, ou seja, a aceleração local da série, em vez de sua tendência local. Termos de y a equação de previsão geral é. Aqui os parâmetros de média móvel s são definidos de modo que seus sinais são negativos na equação, seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins Alguns autores e software incluindo a programação R Anguage definir-los de modo que eles têm mais sinais em vez Quando os números reais são conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual convenção o seu software usa quando você está lendo a saída Muitas vezes os parâmetros são indicados por AR 1 , AR 2,, e MA 1, MA 2, etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y você começa determinando a ordem de diferenciação d precisando estacionar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma variância Estabilização de transformação, como log ou deflação Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você tem apenas montado um passeio randômico ou tendência aleatória modelo No entanto, a série estacionária pode ainda ter autocorrelated erros, sugerindo que alguns número de Os termos AR p 1 e ou algum número de termos MA q 1 também são necessários na equação de previsão. O processo de determinar os valores de p, d e q que são melhores para uma dada série temporal S será discutido em seções posteriores das notas cujos links estão no topo desta página, mas uma prévia de alguns dos tipos de modelos não-sazonais ARIMA que são comumente encontrados é dado abaixo. ARIMA 1,0,0 autoregressive de primeira ordem Modelo se a série é estacionária e autocorrelacionada, talvez possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, mais uma constante A equação de previsão neste caso é. quela Y regressa sobre si mesma retardada por um período Este é um ARIMA 1, 0,0 modelo constante Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 1 for positivo e menor que 1 em magnitude ele deve ser menor que 1 em magnitude se Y estiver parado, o modelo Descreve o comportamento de reversão de média no qual o valor do próximo período deve ser predito como sendo 1 vezes mais distante da média do valor deste período Se 1 for negativo, ele prediz o comportamento de reversão de média com alternância de sinais, ou seja, também prevê que Y estará abaixo da média seguinte p Em um modelo autorregressivo de segunda ordem ARIMA 2,0,0, haveria um termo Y t-2 à direita também, e assim por diante Dependendo dos sinais e magnitudes do , Um modelo ARIMA 2,0,0 poderia descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento de uma massa sobre uma mola que é sujeita a choques aleatórios. ARIMA 0,1,0 caminhada aleatória Se A série Y não é estacionária, o modelo mais simples possível para ele é um modelo randômico aleatório, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR 1 no qual o coeficiente autorregressivo é igual a 1, ie uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como. Onde o termo constante é a variação média período-período, ou seja, a deriva de longo prazo em Y Este modelo poderia ser montado como um modelo de regressão sem interceptação em que a primeira diferença de Y É a variável dependente Uma vez que inclui apenas uma diferença não sazonal Rência e um termo constante, é classificado como um modelo ARIMA 0,1,0 com constante. O modelo randômico-sem-desvio seria um modelo ARIMA 0,1,0 sem constante. ARIMA 1,1,0 diferenciado primeiro Se os erros de um modelo de caminhada aleatória são autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um atraso da variável dependente à equação de predição - ou seja, regressando a primeira diferença de Y sobre si mesma retardada por um período. Resultaria na seguinte equação de previsão que pode ser rearranjada para. Este é um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciamento não sazonal e um termo constante - ou seja, um modelo ARIMA 1,1,0. ARIMA 0,1,1 sem Suavização exponencial simples constante Outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Lembre-se que para algumas séries temporais não-estacionárias, por exemplo, que exibem flutuações ruidosas em torno de uma média de variação lenta, L não funciona tão bem como uma média móvel de valores passados ​​Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar uma média das últimas observações para filtrar a Ruído e estimativa mais precisa da média local O modelo de suavização exponencial simples utiliza uma média móvel exponencialmente ponderada de valores passados ​​para conseguir este efeito A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita num número de formas matemáticas equivalentes uma das quais é a A chamada forma de correção de erro, na qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ela cometeu. Porque e t-1 Y t-1 - t-1 por definição, isso pode ser reescrito como. que é um ARIMA 0 , 1,1 - sem constante de previsão com 1 1 - Isso significa que você pode ajustar uma suavização exponencial simples, especificando-o como um modelo ARIMA 0,1,1 sem constante, eo coeficiente MA 1 estimado corresponde a 1 m Inus-alfa na fórmula SES Recorde-se que no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período antecipado é 1, o que significa que tenderão a ficar para trás de tendências ou pontos de viragem em cerca de 1 períodos. A média de idade dos dados nas previsões de um período de 1-período de um ARIMA 0,1,1-sem modelo constante é de 1 1 - 1 Assim, por exemplo, se 1 0 8, a idade média é 5 Como 1 abordagens 1 , O modelo ARIMA 0,1,1-sem-constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo e, à medida que 1 se aproxima de 0, torna-se um modelo randômico sem caminhada. Qual é a melhor maneira de corrigir a autocorrelação adicionando AR ou adicionar termos de MA Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema de erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória foi fixado de duas maneiras diferentes, adicionando um valor defasado da série diferenciada à equação ou adicionando um valor defasado da previsão Error Qual abordagem é a melhor Uma regra para esta situação, que será discutida em mais detalhes mais tarde, i S que a autocorrelação positiva é geralmente melhor tratada pela adição de um termo AR ao modelo e autocorrelação negativa é geralmente melhor tratada pela adição de um termo MA Em business e séries de tempo econômico, autocorrelação negativa muitas vezes surge como um artefato de diferenciação Em geral, Assim, o modelo ARIMA 0,1,1, no qual a diferenciação é acompanhada por um termo MA, é mais freqüentemente usado do que um modelo ARIMA 1,1,0. ARIMA 0, 1,1 com alisamento exponencial simples constante com crescimento Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, você realmente ganha alguma flexibilidade Primeiro de tudo, o coeficiente MA 1 estimado é permitido ser negativo, isso corresponde a um fator de suavização maior do que 1 em um O modelo SES, que geralmente não é permitido pelo procedimento de ajuste do modelo SES. Em segundo lugar, você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA, se desejar, para estimar uma média Tendência não-zero O modelo ARIMA 0,1,1 com constante tem a equação de previsão. As previsões de um período de tempo deste modelo são qualitativamente semelhantes às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é Tipicamente uma linha inclinada cuja inclinação é igual a mu em vez de uma linha horizontal. ARIMA 0,2,1 ou 0,2,2 sem suavização exponencial linear constante Os modelos lineares de suavização exponencial são modelos ARIMA que utilizam duas diferenças não sazonais em conjunção com os termos MA A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma retardada por dois períodos, mas sim a primeira diferença da primeira diferença - ou seja, a mudança na mudança de Y no período t Assim, A segunda diferença de Y no período t é igual a Y t - Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 Uma segunda diferença de uma função discreta é análoga a uma Segunda derivada de uma função contínua, mede a aceleração ou curvatura na função em um dado Ponto no tempo. O modelo ARIMA 0,2,2 sem constante prevê que a segunda diferença da série é igual a uma função linear dos dois últimos erros de previsão que podem ser rearranjados como. Onde 1 e 2 são MA 1 e MA 2 Coeficientes Este é um modelo de suavização exponencial linear geral essencialmente o mesmo que o modelo de Holt e o modelo de Brown é um caso especial. Utiliza médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e uma tendência local na série As previsões a longo prazo de Este modelo converge para uma linha reta cuja inclinação depende da tendência média observada no final da série. ARIMA 1,1,2 sem alinhamento exponencial linear de tendência de amortecimento constante. Este modelo é ilustrado nas lâminas acompanhantes em modelos ARIMA Extrapola A tendência local no final da série, mas aplana-lo em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem apoio empírico Veja o artigo sobre Por que a Tendência de Damped trabalha por Gardner um D McKenzie eo artigo da regra de ouro por Armstrong et al para details. It geralmente é aconselhável para manter os modelos em que pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente ajustar um modelo como ARIMA 2, 1,2, uma vez que isso é susceptível de levar a overfitting e fatores comuns fatores que são discutidos com mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática de modelos ARIMA. Implementação da folha de cálculo ARIMA modelos como os descritos acima são fáceis de implementar em uma planilha A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries temporais originais e valores passados ​​dos erros. Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B eo Dados de erros menos previsões na coluna C A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente uma expressão linear referindo-se a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicada pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados Em outras partes da planilha.